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什么是函数项级数的存在域?
由于：lim(n→∞)[|(x+1/n)^n|]^(1/n) = lim(n→∞)|x+1/n| = |x|，利用比值判别法，可知当 |x|1 时，级数（绝对）收敛。故该函数的定义域为|x|1。
存在域是定义域，指自变量x的取值范围。在一个函数关系中，自变量的取值范围叫作函数的定义域。定义区间只是定义域中的一个范围。是定义域的一个子集。
就是函数的定义域 定义域是函数三要素之一，对应法则的作用对象。求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。
函数的定义域、值域和对应法则被称为函数的三个要素。函数的定义域是指在其对应法则内，使因变量有意义的所有自变量的取值范围或\u96c6\u5408。
微积分的第二次危机
这就是著名的贝克莱悖论。这种微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机，而这次危机的引发与牛顿有直接关系。历史要求给微积分以严格的基础。补救第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。
十十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
第二次数学危机指的是：指发生在十十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论。
产生第二次数学危机的原因主要是微积分工具的使用。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
第二次数学危机的实质是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。
柯西极限存在准则怎么证明?
条件：对于任意小数ε＞0，存在自然数N，当nN且nN时，有｜xn-xn|ε；结论：数列｛xn}有极限x，即对于任意小数ε＇＞0，存在自然数N，当nN时，有｜xn-x|ε＇。
只需用闭区间套定理证明结论：Cauchy列是收敛的。首先，Cauchy列必有界，设a=an=b。将[a，b]均分为3份，分点为c=(2a+b)/3，d=(a+2b)/3。
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。
先\u5047设其无解，然后求X取极限后的值Y1，再求X取X+△X极限的值Y2（△X趋向0），发现Y1=Y2。所以\u5047设不成立，所以有界。柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列）。
首先柯西序列是有界的，这个很好证明，你可以自己证一下，下面要用到一个很有用的引理：有界序列必存在收敛子列，这是关于实数性质的基本定理，证明较繁，但是直观上很好接受。
然后用这个可以证明柯西收敛准则。首先柯西列知必然有界，那么有收敛子列。记极限为A。利用cauchy列定义可以证明数列收敛到A。
为什么维尔斯特拉斯被称为现代分析之父
1、希尔伯特对他的评价是：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。
2、他把整函数定义为在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数；还断定，若整函数不是多项式，则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果，组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。
3、在海德堡大学求学的过程中，索菲·科瓦列夫斯卡娅为了取得更大的进步，到被誉为“现代分析之父”的数学\u5927\u5e08魏尔斯特拉斯教授家中拜师求教。
求助:维尔斯特拉斯定理的证明
1、维尔斯特拉斯定理是函数逼近论中很基本的一个定理。我们在学习华中工学院出版的《数值分析》中并没有给出它的证明。根据我们工科学生所学过的知识完全可以证明这个定理。
2、设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a0，当0，x-x。，δ1时，使得，f（x）-a，ε成立。总存在一个δ20，当0，x-x。，δ2时，使得，f（x）-b，ε成立。
3、weierstrass第一逼近定理是闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。闭区间上周期为2π的连续函数可用三角函数级数一致逼近。波尔查诺-维尔斯特拉斯定理是指有界数列必有收敛子列。
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